フォームを設置し、入力必須の欄に未入力でも送信されてしまいます。対処する方法は無いでしょうか。

問い合わせフォームを設置する際、記入を必須にするか、しないかの選択ができますが、入力を必須にしている欄が未入力でも「送信」ボタンを押すと、最初はメッセージが出て未入力の部分が太く表示されるのですが、「送信」ボタンを2度押すと「送信」されます。（送信ではなく、リンク設定で、移動先のページを指定したり、書類ダンロードを選択している場合はダウンロードされてしまいます）
対処する方法は無いでしょうか。

以前のWeeblyのフォームではそのようなことが起きていなかったので、システム更新の際にバグが生じているのではないかと思います。
上記のような簡単なフォームを設定して試してみましたが、まさに未記入でも送信してしまいました。
修正されるまではWeeblyのフォームでは未記入でも送信されてしまっても大丈夫なフォームしか設定出来ないですね。この件はWeeblに問い合わせしてみます。

アプリの利用で対処出来る方法があります。

基本的なホームページ作成の知識がないと難しいかもしれませんが、Weeblyでは本来JQueryなどのJavaScriptで設定しないと出来ない機能をサードパーティのアプリという形で簡単に導入できる機能があります。（お名前.com経由でWeeblyのアカウント取得した人には表示されません。「お名前.comでWeeblyを申し込むと思わぬ落とし穴が!!」で詳しく説明しています。）

フォームについては「Jotform」というアプリをおすすめします。

Weebly内で使えるアプリというよりも「Jotform」自体は別のWEBサービスです。
本来は「Jotform」に自分のアカウントを作って様々なフォームを作れて、その作ったフォームをコードで書き出して、自分のホームページのフォームを設置したい場所（html）にコードをペーストするとフォームが設置でき、送信されたデータは「Jotform」のアカウントで管理するという形態です。

Weebly内のアプリに「Jotform」というアプリがあり、こちらでアプリをインストールするとWeeblyのアカウントで自動的にリンクされますが、送信データ等はすべて「Jotform」に蓄積されます。

Weeblyの中にデータが保存されるのではなく「Jotform」に保存されます。

送信ボタンはデータをフォームペー式でデータを受け取る以外に、指定したページへのリンクなども設定出来ますので、送信されたデータは「Jotform」に保存され、送信後に表示させるページを指定して、そのページにダウンロードして欲しい書類等と設置しておくことが出来ます。
ボタンを押すと送信とダウンロードが同時に機能するように設定することも出来ると思います。

Jotformは全世界で利用されているフォーム作成サービスです

サイトは日本語ページが無いので基本は英語ですが、いろんな国での使用を考えて作られているので単語が少し理解できれば、直感的に分かりやすく作られています。

すでに沢山の人が作ったフォームで汎用的に使用出来るフォームで利用可能なフォームが沢山選べて、それを元にしたカスタマイズで自分専用のフォームが作れる優れたサイトです。

サイト自体に日本語ページはないですが、全世界で利用されることを考えて作られているので単語が分かればそんなに難しくないです。操作方法で分からないことがあればお問い合わせフォームにGoogle翻訳で英語にして質問すると、3〜6時間以内にGif動画を使って返答が届いたのには驚きました。
フォームもこのサポートのおかげで助かった経験があります。
かなり高度なフォームが作れます。
HTML,CSSの知識があれば、レイアウトも自在に変えられるので、サイトに合わせたデザインが出来ます。

レイアウトまで含めて「Jotform」でフォームを作ります。
できあがったらそのフォームをコードで書き出します。

そのコードをWeeblyの場合では「埋め込みコード」ツールを使用して設置して、コードをペーストすればそのページに​「Jotform」で作成したフォームがそのまま表示されます。

「送信」したデータは「Jotform」の自分のアカウントにCSV形式で蓄積され、いつでも観覧でき、Excel形式してダウンロード可能です。

Jotformの使い方は「検索」すると出てくる

Jotformの使い方も私が時間を作って紹介したいのですが、時間が取れないので検索して見てください。「Jotform」にアクセスしてアカウント作って触ってみて分からなかったら調べる方が覚えるかもしれません。

もしかすると、Weeblyは基本で使えるフォームはテコ入れしてくれないかもしれないと思っています。優れたアプリ提供会社が沢山あるので、専門的な動作や機能はアプリを使ってというスタイルなのかもしれません。